1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …를 피보나치 수열(Fibonacci Sequence / Fibonacci Series)이라고 한다. 이 수열의 특징은 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3처럼 3항 이상의 수는 바로 앞 두 항의 합이란 점이다.
피보나치 수열의 또 다른 신비한 점은 앞 항으로 다음 항을 나누면 「1/1=1」, 「2/1=2」,「3/2=1.5」, 「5/3=1.666」 「8/5=1.6」「13/8=1.1.625」「21/13=1.615」등이 되는데 이를 계속해 보면 바로 황금비율(Golden Ratio) 즉, 「1.618」에 근접한다는 것이다. 이 비율을 Φ (Phi)로 표시한다.
그리고 이 비율 Φ (Phi)는 신이 창조하고 자연에게 부여한 비율이라는 '황금분할(golden section)' 1: 1.618를 만들어낸다.
한 쌍의 토끼가 있다. 이 토끼는 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳으며 새로 태어난 토끼도 태어난 지 두 달 후면 어미가 되어 꼭 한 쌍씩의 새끼를 낳는다고 한다. 1년이 지나면 토끼는 모두 몇 쌍이나 태어날까?
이 문제는 피보나치의 저서 'LiberAbaci'에 나오는 문제이다.
문제를 풀어보면 먼저 토끼가 갓 태어난 새끼 한 쌍으로 시작했기 때문에 1개월 및 2개월 동안은 새끼 1쌍이 그대로 있고 셋째 달에 암수 새끼 1쌍을 낳았기 때문에 총 암수 2쌍이 된다. 넷째 달에 암수 어미 한 쌍이 또 암수 1쌍을 낳아 총 3쌍이 되고, 다섯 째 달에는 어미가 또다시 1쌍을 낳고 새끼도 어른이 되어 1쌍을 분만해 총 5쌍이 된다. 매달 암수 쌍의 수를 수열로 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.... 이 되는 것이다.
이 답에 나오는 수열을 루카스(Edourd Lucas)가 '피보나치 수열'이라고 이름을 붙였다.
레오나르도 피보나치 (Leonardo Fibonacci.1170년(?) - 1250년)는 피사의 레오나르도 (Leonardo da Pisa, Leonardo Pisano)라고도 불렸으며 중세 이탈리아의 수학자로서 '피보나치 수열'에 대한 연구로 유명하다. 또한 유럽에 아라비아 수 체계를 소개하기도 하였다.
피사에서 태어났으며 레오나르도는 죽은 후에 피보나치라는 별명을 얻었다. 어린 시절 알제리의 동쪽 항구인 부기아(Bugia)에 있는 교역소에서 힌두-아라비아숫자에 대해 배웠고 피사로 돌아와서 그 체계를 유럽에 소개하였다. 그는 힌두 숫자로 수학을 하는것이 로마 숫자로 수학을 하는것보다 효과적이라는 것을 알자 당시의 아랍 수학을 배우기 위해 지중해 지역의 국가를 여행하여 1200년 경에 되돌아 왔다.
1202년 그가 32세 되던 해에 이를 집대성한 'Liber Abaci' ('Book of Abacus' or 'Book of Calculation'이라는 의미)를 출판하였다. 레오나르도는 당시 수학과 과학을 즐겼던 황제 프리드리히 2세의 초대를 받았고 1240년 피사 공화국은 그의 다른 이름인 레오나르도 비글로라는 이름으로 봉급과 연금을 주어 레오나르도에게 영예를 주었다.
1220년에는 기하학 요약논문인 '기하학 연습 (Practica geometriae)'을 펴냈는데 에우클레이데스의 '기하학 원본 (Elements)'과 '나눗셈에 대하여( on Divisions)'를 기초로 한 정리들이 8장에 걸쳐 담겨져 있다.
레오나르도는 몇 년 동안 황제 및 그의 학자들과 문제를 교환하면서 서신왕래를 했으며, 황제에게 '제곱수에 대한 책 (Liber quadratorum)' (1225)을 헌정했다. 제곱수를 포함하는 디오판토스 방정식에 주력한 '제곱수에 대한 책'은 그의 걸작품으로 체계적으로 정돈된 정리들을 모은 것이다. 이중 많은 수가 그가 발견한 것이었고 자신만의 증명방법으로 일반 해를 얻기도 했다. 가장 창의로운 연구는 합동수(주어진 수로 나눌 때 나머지가 같은 수)에 관한 것이었다. 그는 제곱수에 더하거나 빼어 제곱수가 되는 수를 찾는 독자적인 해를 연구했다. x2＋y2과 x2－y2이 둘 다 제곱수가 될 수 없다는 그의 주장은 3변이 모두 유리수로 된 직각3각형 면적을 구하는 데 매우 중요하다. 'Liber abaci'이 더 영향력 있고 다루는 범위가 넓지만, '제곱수에 대한 책'만으로도 디오판토스와 17세기 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마 사이에서 정수론에 가장 크게 기여한 것으로 평가받을 만하다.
이제는 실제로 자연과 우리 주위에서 '피보나치 수열'과 '항금비율'이 얼마나 자주 발견 되는지 살펴보기로 하자.
해바라기의 씨앗은 독특한 방식으로 '피보나치 수열'을 이루고 있다. 씨앗은 두 개의 다른 방향의 나선을 형성하고 있는데 시계방향으로는 21개, 반시계방향으로는 34개이다 (21과 34는 '피보나치 수열'에서 서로 이웃하는 숫자이다. 12/34=0.618). 피보나치 수열의 값을 이루며 중간에 밀집되거나 가장자리 부분에 어김 없이 균일하게 씨앗이 배열되어 있음을 알 수 있다.
그렇다면 왜 씨앗들은 '피보나치 수열'을 이루고 있는 것일까? 이에 대한 해답은 Packing(불필요한 부분을 최소로 하면서 배열하는 것)에 있다. 즉 해바라기 씨는 '피보나치 수열'에 따라 씨를 배열하면서 좁은 공간에 최대한의 많은 씨를 담고 있는 것이다. 또한 소나무 주변에 떨어져 있는 솔방울 씨앗의 배열을 살펴보면 꼭지를 향해 말려들어가는 두 가지 방향의 나선 모양 씨앗을 시계 반대방향과 시계방향으로 각각 세어보면 8개와 13개다. 그밖에 줄기에서 잎이 나와 배열되는 방식을 나타내는 잎 차례도 '피보나치수열'과 관계가 있다. 또한, 참나무와 벚꽃나무는 이들 식물의 줄기가 2번 회전하면서 5개의 잎이 나온다. 버드나무, 포플러, 장미는 3번 회전 하면서 8개의 잎이 난다. 줄기와 잎이 서로 '피보나치 수열'의 수를 택한 이유는 식물이 자신의 잎을 배열할 때 위의 잎을 가리지 않고 햇빛을 최대한 잘 받을 수 있도록 엇갈리게 잎을 배치하려 하는 속성 때문이다.
놀랍지 않은가,자연의 신비로움이? 자연에 숨어있는 법칙과 규칙과 조화가 스스로의 생성이나 우연에서 비롯되어졌는지 아니면 신의 창조에서 비롯되어졌는지 잘 판단해 볼 일이다.
피보나치 수열은 식물뿐 아니라 달걀의 가로 세로 비에서 그리고 소라껍질이나 조개껍질의 각 줄 사이의 비율과 나선구조에서도 나타나 있다. 황금비율과 황금분할은 피라미드, 파르테논신전 (Parthenon)이나 앞선 글에서 언급되어진 다빈치 (Leonardo da Vinci 1452~1519)와 미켈란젤로 (Michelangelo Buonarroti 1475~1564)의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드와 심지어 담배갑의 가로 세로 비율에까지 광범위하게 쓰인다.
나아가 음악의 음계도 '피보나치 수열'에 바탕을 두고 있다. 한 옥타브 내에서 모든 음정의 폭은 13 음정으로 되어 있다. 한 음계는 8 음정으로 구성 되어 있으며 그중에 5 번째와 3번째의 음정이 모든 화음의 기본이 되며 음계의 첫 1 음정인 기본 음조로부터 2 단계인 전음조(whole tone)에 기초를 두고 있다. 피아노 건반도 C 에서 C 까지의 음계에 13 개의 키(Key)가 있으며 8개의 흰 키와 5개의 검은 키로 구성 되어 있고 3개 및 2개의 그룹으로 분활 되어 있다. 여기에서 13, 8, 5, 3, 2, 1은 다 '피보나치 수열' 인 것이다.
최근 태양계내의 각 행성들간의 거리가 임의적인 것이 아니고 '피보나치 수열'에 따른 등각나선으로 배열되어 있다는 주장이 나와 흥미롭다. 만일 이것이 맞다면 플라톤 (Platon BC 429~BC 347), 케플러 (Kepler, Johannes 1571~1630), 보데 (Bode, Johann Elert 1747~1826)로 이어지는 수학적 통찰이 그 본질적 원리에 있어서 맞았음이 증명되게 될 것이다.
태양계 내의 각 행성들간의 거리도 바로 '피보나치 수열'에 따른 황금 나선형으로 배열되어 있고 각 행성의 공전 궤도/속도 역시 황금 비율에 따른다고 알려져 있다.
하나님이 자연에게 베푸신 아름다움을 위한 규칙과 질서는 놀랍도록 경이롭다.
"태초에 하나님이 천지를 창조하시니라. 하나님이 두 큰 광명체를 만드사 큰 광명체로 낮을 주관하게 하시고 작은 광명체로 밤을 주관하게 하시며 또 별들을 만드시고 하나님이 그것들을 하늘의 궁창에 두어 땅을 비추게 하시며 낮과 밤을 주관하게 하시고 빛과 어둠을 나뉘게 하시니 하나님이 보시기에 좋았더라."
